quarta-feira, 16 de dezembro de 2009

PRODUTOS NOTÁVEIS

PRODUTOS NOTÁVEIS

Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Exercícios
1) Calcule
a) (3 + x)²_______________b) (x + 5)²________________c) ( x + y) ²
d) (x + 2)²_______________e) ( 3x + 2)²_______________f) (2x + 1)²
g) ( 5+ 3x)²______________h) (2x + y)²_______________i) (r + 4s)²
j) ( 10x + y)²_____________l) (3y + 3x)²_______________m) (-5 + n)²
n) (-3x + 5)²_____________o) (a + ab)²________________p) (2x + xy)²
q) (a² + 1)²______________r) (y³ + 3)²________________s) (a² + b²)²
t) ( x + 2y³)²_____________u) ( x + ½)²_______________v) ( 2x + ½)²
x) ( x/2 +y/2)²

RESPOSTAS
a) 9 + 6x +x²_______________m) 25 -10n + n²
b) x² + 10x + 25____________n) 9x² - 30x + 25
c) x² + 2xy +y²_____________o) a² + 2ab + a²b²
d) x² + 4x + 4______________p) 4x² + 4xy + x²y²
e) 9x² + 12x +4_____________q) (a²)² + 2a² + 1
f) 4x² + 4x + 1_____________r) (y³)² + 6y³ + 9
g) 25 + 30x + 9x²___________s) (a²)² + 2a²b² + (b²)²
h) 4x² + 4xy + y²___________t) x² + 4xy³ + 4(y³)²
i) r² + 8rs + 16s²___________u) x² +x + 1/4
j) 100x² + 20xy + y²________v) 4x² + 2x + 1/4
l) 9y² + 18xy + 9x²_________x) x²/4 + 2xy?4 + y²/4

QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²


Exercícios

1) Calcule
a) ( 5 – x)²______________b) (y – 3)²__________________c) (x – y)²
d) ( x – 7)²______________e) (2x – 5) ²_________________f) (6y – 4)²
g) (3x – 2y)²____________h) (2x – b)²__________________i) (5x² - 1)²

RESPOSTAS

a) 25 – 10x + x²_____________e) 4x² - 20 x + 25
b) y² - 6y + 9_______________f) 36y² - 48y + 16
c) x² - 2xy + y²_____________ g) 9x² - 12xy + 4y²
d) x² - 14x + x² _____________h) 4x² - 4xb + b²
i) 25(x²)² - 10x² + 1

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

(a + b). (a – b) = a² - ab + ab + b² = a²- b²

conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²





EXERCÍCIOS

1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y)
b) (y – 7 ) . (y + 7)
c) (x + 3) . (x – 3)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2)
f) (5x + 4 ) . (5x – 4)
g) (3x + y ) (3x – y)
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x)
i) (2x + 3y) . (2x – 3y)
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x)


CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Exemplo

a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125

d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³
EXERCICIOS

1) Desenvolva

a) ( x + y)³ b) (x – y)³ c) (m + 3)³ d) (a – 1 )³ e) ( 5 – x)³ f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³ h) ( 2x – y )³ i) (1 + 2y)³ j) ( x – 2x)³ k) ( 1 – pq)³ l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³ n) ( 2x – 1)³ o) ( 2x + 5 )³ p) (3x – 2 )³


Equação do 2º Grau
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação: ax² + bx + c = 0
Onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos: 1) 2 x² + 7x + 5 = 0 2) 3 x² + x + 2 = 0
O coeficiente a tem que ser diferente de zero.
Exemplos:
1) 4 x² + 6x = 0 2) 3 x² + 9 = 0 3) 2 x² = 0

Resolução de equações completas do 2° grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax² + bx + c = 0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
Onde Δ=b²-4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:
1) Δ > 0, há duas soluções reais e diferentes
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0
1) Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.
3) Calcular Δ = (-5)²-4.1.6 = 25-24 = 1
4) Escrever a fórmula de Bhaskara:
EXERCÍCIOS
1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
1) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8) 2) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
3) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio) 4) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
5) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5) 6) 5x² - 3x - 2 = 0
7) x² - 10x + 25 = 0 8) x² - x - 20 = 0
9) x² - 3x -4 = 0 10) x² - 8x + 7 = 0

RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU
1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3) 2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4) 4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,) 6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4) 8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2) 10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2) 12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4) 14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio) 16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5) 18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3) 20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3) 22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8) 24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4) 26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio) 28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5) 30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4) 32) ( x - 5)² = 1_______(R:3,7)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2) 34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)

35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1 b)-1 e 1 c)-2 e 2 d)-3 e 3 e)0 e 4
36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4) 37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio) 38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)

PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)
2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4).
3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)
4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8).
5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)
6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)
7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)
8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)
9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)
10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)
11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7)
12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)
13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)
14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)
15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)
16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)
17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8)
18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número. (R: 5 e -3)
19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R:7 e -4)
20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número? (R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)
22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)



RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS

Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau

1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:
1) x² - 25 = 0
x² = 25
x = √25
x = 5
logo V= (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0
2x² = 18
x² = 18/2
x² = 9
x = √9
x = 3
logo V= (-3 e +3)
3) 7x² - 14 = 0
7x² = 14
x² = 14/7
x² = 2
x = √2
logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0
x² = -25
x = √-25
obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7) b) x² = 1 (R: +1 e -1)
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5) d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3) f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)
g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio) h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7) j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)
k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2) l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3) n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)

2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)




2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.


EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7) b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4) d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3) f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1) h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2) j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2) l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)


2) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3) b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5) d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5) f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)

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