Questões Resolvidas de Matemática II
01.A Polícia Federal interceptou duas malas abarrotadas de dinheiro, contendo um total de R$3.000.000,00, somente em notas de 100 e de 50 reais. A quantidade de cédulas de 100 da mala preta era igual à quantidade de cédulas de 50 da mala marrom, e vice-versa. Após a perícia, um policial encheu a mala preta com notas de 100 reais e pôs as cédulas restantes na mala marrom, de tal modo que as duas malas ficaram com quantias iguais. Quantas notas foram colocadas na mala marrom?
a)20000 d)17000
b)18000 e)25000
c)23000
Solução:
Sendo x o número de cédulas de R$100,00 e y o número de cédulas de R$50,00 ,vem:
100x + 50y = 3000000 (:50)
2x + y = 60000
Como x = y ,temos:
2x + x = 60000
3x = 60000(:3)
x =20000
Logo, y =20000.
▪Total de cédulas = 40000
Como as duas malas ficaram com quantias iguais, cada mala ficará com R$1.500.000,00.
Portanto, a mala preta ficará com
1500000 :100 = 15000 cédulas de R$100,00
Como o número total de cédulas é 40000, a mala marrom ficará com
40000 – 15000 = 25000 cédulas
Resposta : item E
02.Uma disputa de dois palitinhos entre dois jogadores é feita da seguinte maneira:
• cada jogador mostra uma mão fechada dentro da qual podem estar nenhum, um ou dois palitinhos,
• em seguida cada um deles diz quanto deve dar a soma das quantidades de palitinhos das mãos dos dois jogadores,
• feitos os palpites, ambos abrem a mão para verificar se alguém acertou e, se nenhum dos dois tiver acertado, eles repetem o processo.
Suponha que você entrará no jogo, sem palitinho, da seguinte maneira: você poderá fazer o primeiro palpite, isto é, depois que as mãos já estiverem apresentadas e fechadas, mas antes de os dois fazerem seus palpites, você diz qual será a soma das quantidades de palitinhos. Para que a probabilidade de você acertar seja a maior possível, sua aposta deve ser que a soma será igual a
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
Solução:
Temos:
Soma = 0 ►(0,0)
Soma = 1 ►(0,1) ou (1,0)
Soma = 2 ►(0,2), (2,0) ou (1,1)
Soma = 3 ►(1,2) ou (2,1)
Soma = 4 ►(2,2)
Logo,para que a probabilidade de você acertar seja a maior possível, sua aposta deve ser que a soma será igual a 2.
Resposta: item C
03.Você sabia?
▪Se você pegar uma concha em formato de espiral e calcular a razão de cada diâmetro de uma espiral para a seguinte, chegará sempre a um valor aproximado de 1,618.
▪A divisão da altura de uma pessoa pela distância entre seu umbigo e o chão dará aproximadamente o mesmo valor de 1,618.
▪Se você dividir o número de fêmeas pelo número de machos em uma colméia de abelhas, sempre chegará ao mesmo número aproximado: 1,618.
Calcule, aproximadamente, o percentual de fêmeas em uma colméia.
a)38,2% d)65,7%
b)61,8% e)54,5%
c)34,3%
Solução:
Se, na colmeia, a razão
fêmeas / machos = 1,618,
então :
fêmeas = machos × 1,618.
Isto significa que se tivermos 1000 machos, teremos 1618 fêmeas em um total de:
1000 + 1618 = 2618 abelhas.
Logo, aproximadamente, a porcentagem de fêmeas é :
1618 / 2618 = 0,618 = 61,8%
Resposta: item B
04.Os tamanhos de chapéus masculinos na Inglaterra,França e Estados Unidos são diferentes. A função f(x)= (x – 1)/8 converte os tamanhos franceses para os ingleses, e a função g(x) = 8x converte os tamanhos norte-americanos para os franceses. Qual das funções a seguir converte o tamanho x dos norte-americanos para o tamanho h(x) dos ingleses?
a) h(x) = x – 1/8 d) h(x) = (x + 1)/8
b) h(x) = (x – 1)/8 e) h(x) = 8x + 1
c) h(x) = x + 1/8
Solução:
Temos:
f(x) = (x-1)/8 e g(x) = 8x
Logo, vem:
h(x) = f(g(x))
h(x) = f(8x)
h(x) = (8x – 1)/8
h(x) = x – 1/8
Resposta: item A
05.O departamento de arqueologia da Universidade de Oxford mantém em sua biblioteca uma coleção de aproximadamente 500.000 papiros, todos com mais de 1000 anos de idade, cujo conteúdo começou a ser desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnica chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela Nasa. Se um computador, munido de um sistema de inteligência artificial, conseguir decifrar o conteúdo de cada um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10 anos, então toda a coleção de papiros citada será decifrada em
a) aproximadamente 20 anos.
b) aproximadamente 40 anos.
c) aproximadamente 50 anos.
d) aproximadamente 80 anos.
e) aproximadamente 100 anos.
Solução:
Temos uma P.G. de razão 1/2 tendendo para o infinito. Logo,vem:
S = a1 /( 1 – q)
S = 10 / (1 – 1/2)
S = 10● 2 \ S = 20 anos
Resposta: item A
06. (FUVEST) – Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas dez músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente:
a) 10 dias d)100 séculos
b) Um século e)10 séculos
c) 10 anos
Solução:
Trata-se de um problema de permutações simples, ou seja, calcular o número de permutações simples de 10 elementos. Da teoria, teremos:
P10 = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Portanto serão necessários 10! (fatorial de 10) dias, para esgotar todas as possibilidades. Vamos converter esse número em anos e, para isto, vamos dividir por 360 dias (o mais exato seria dividir por 365 dias = 1 ano, mas o problema pede uma solução aproximada). Logo, vem:
(10●9●8●7●6●5●4●3●2●1) / 360
10●9●8●7●2
10080 anos
Como um século tem 100 anos ,temos:
10080 / 100
Que é aproximadamente igual a 100 séculos.
Logo, serão necessários,aproximadamente,100 séculos para esgotar todas as possibilidades.
Resposta: item D
07.Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
a)R$4095,00 d)R$1098,00
b)R$3820,00 e)R$548,00
c)R$2685,00
Solução:
Se a jovem soubesse Matemática não teria recusado o trabalho. Observe que no primeiro dia ela teria recebido R$1,00, no segundo dia R$2,00 , no terceiro R$4,00 , no quarto R$8,00 e assim por diante. Assim, teríamos uma progressão geométrica de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 1. Então, ela teria recebido pelos 12 dias trabalhados um total que é a soma dos 12 primeiros termos desta P.G. , ou seja:
S = a1(qn - 1) / (q - 1), onde n = 12.
Daí, vem que:
S = 1(212 - 1) / (2 - 1)
S = 212 - 1
S= 4096 – 1 →S = R$4.095,00.
Resposta: Alternativa A
08.Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$300,00
a)R$208,00 d)R$174,00
b)R$136,00 e)R$145,00
c)R$165,00
Solução:
Observe que a soma S é a soma (ou série) dos 30 primeiros termos da PA (1 , 2 , 3 , 4 , ... , 29 , 30),onde a1= 1 , a30 = 30 e n =30. Sendo assim, temos:
S =( a1 + a30)•n/2
S =(1 + 30)•30/2
S = 31•15 → S =R$465,00
Logo, Riquinho receberá:
465 - 300 = R$165,00 a mais
Resposta: Alternativa C
09.(TRF/2007/FCC) Técnico Judiciário Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de:
a) 6 horas
b) 6 horas e 10 minutos
c) 6 horas e 54 minutos
d) 7 horas e 12 minutos
e) 8 horas e meia.
Solução:
Neste tipo de questão é conveniente analisar o que acontece em 1 hora.Assim,se o 1º técnico realiza o trabalho em 9 horas, em 1 hora, ele realizará 1/9 do trabalho.Se o 2º gasta x horas para realizar o trabalho,em 1 hora ele realiza a fração 1/x do trabalho. Se, trabalhando juntos, conforme o enunciado, eles arquivam o lote de processos em 4 horas,em 1 hora, também juntos,eles realizariam 1/4 do trabalho.Somando as suas capacidades individuais, sempre para 1 hora de trabalho, teremos a equação : 1/9 +1/x = 1/4, que resolvendo temos:
1/9 + 1/x = 1/4
mmc(9 , 4 , x) = 36x
4x + 36 = 9x
36 = 9x – 4x
36 = 5x
X = 36/5
X = 7 horas + 1/5 hora
X = 7 horas + (1/5 hora)●60
\ X = 7 horas + 12 minutos
Resposta: item D
10.Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores.A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que
a)o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades não é suficiente para cobrir os gastos adicionais.
b)o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõe cobrirá exatamente os gastos adicionais.
c)a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais.
d) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas.
e) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.
Solução:
Sendo m a arrecadação inicial das mensalidades e p o porcentual de aumento necessário para cobrir o
aumento de 5% nos salários dos professores, tem-se:
5% . 40%m = p % m ►p = 2%
Portanto, um aumento de 5% nas mensalidades está acima do necessário para cobrir os gastos adicionais.
Resposta: item C
11.A Terra completa uma volta ao redor do Sol em 365,242190 dias aproximadamente, e não em 365 dias. Para corrigir essa diferença, existem os anos bissextos, com 366 dias. Convencionou-se que um ano n é bissexto se, e somente se, uma das seguintes condições for verificada:
▪condição 1: n é um múltiplo de 400.
▪condição 2: n é um múltiplo de 4 e n não é múltiplo de 100.
Com base nessa convenção, podemos afirmar que:
a) poderá haver um ano n bissexto, sem que n seja um múltiplo de 4.
b) se n(n maior ou igual a 2012), é divisível por 4, então o ano n será bissexto.
c) o ano 2200 não será bissexto.
d) o ano 2400 não será bissexto.
e) o ano 2500 será bissexto
Solução:
Um ano é bissexto quando é divisível por 4. Caso termine em dois zeros ,só será bissexto se for divisível por 400.
Como o ano de 2200 termina em dois zeros , mas , não é divisível por 400, podemos concluir que o ano de 2200 não será bissexto
Resposta : item C
12.O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desde cerca 10 -12 w/m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m2 (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido é sensível e também em virtude de a sensação psicologica da intensidade sonora não variar diretamente com a intensidade mas, com melhor aproximação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-Fechner), usa-se uma escala logarítma para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por G=10log(I/10 -12), onde I é a intensidade do som. Calcule, em decibéis, nessa escala, o limiar de audição dolorosa.
a)120 b)94 c)130 d)135 d) 99
Solução:
No limiar da dor a intensidade do som (em w/m2) é I = 1,
Assim, G = 10 log ( 1 / 10 -12) = 10 log ( 10 12).
Como log(a)b = b log (a) e log 10 = 1, pois, 101 = 10, vem que
G = 120 log (10) = 120 decibéis.
Resposta: item A
13.A Câmara de um determinado município é composta de 45 vereadores, sendo 4/9 deles da base governista,1/3 de oposição e o restante proveniente de partidos pequenos, que não são nem governistas nem de oposição. Para votar qualquer projeto de lei municipal, é necessário que estejam presentes pelo menos um vereador de cada um dos três grupos citados. Se a única informação que o prefeito deste município dispõe durante cada reunião da Câmara é o número de vereadores presentes, para ter certeza de que os projetos de lei municipal em pauta naquele dia serão votados, é necessário que ele obtenha o número mínimo de
a) 10 vereadores presentes.
b) 11 vereadores presentes.
c) 20 vereadores presentes.
d) 35 vereadores presentes.
e) 36 vereadores presentes.
Solução:
Do enunciado, temos:
●Base governista ► 4/9 ● 45 =20
●Oposição ►1/3 ● 45 = 15
●Pequenos partidos ►10
Para haver votação é necessário pelo menos um de cada um dos três grupos. Assim, o número mínimo é igual a:
20 + 15 + 1 = 36
Resposta: item E
14.No pátio de uma oficina mecânica existem 12 carros para serem consertados. Os cinco mecânicos desta oficina têm uma estranha maneira de trabalhar: eles se sentam ao redor de uma mesa, sorteiam entre si uma dupla de mecânicos que irá consertar um dos carros quebrados do pátio, enquanto os outros três ficarão esperando. Depois que a dupla sorteada finaliza o carro que lhe foi destinado, os dois mecânicos que a compunham voltam para a mesa e é feito um novo sorteio, até que todos os carros estejam consertados. É correto afirmar que
a) no máximo duas duplas irão consertar mais do que um carro.
b) existe pelo menos uma dupla que não será sorteada.
c) cada um dos mecânicos será sorteado pelo menos uma vez.
d) pelo menos uma dupla irá consertar mais do que um carro.
e) todas as possíveis duplas consertarão pelo menos um carro.
Solução:
Existe um total de C5,2 = 10 duplas diferentes que podem ser formadas; o número máximo de carros que podem ser consertados por duplas diferentes, então, é igual a 10. Como são 12 carros, pelos menos uma mesma dupla irá consertar mais de um carro.
Resposta: item D
15.O musaranho é o menor dos mamíferos; tem massa de 15g e alguns não passam de 2,5cm. Como tamanho não é documento, o musaranho é um dos animais mais violentos. ataca e devora animais que medem o dobro do tamanho dele. Além disso, o musaranho é tão voraz que ele come o equivalente a sua massa de 3 em 3 horas. Algumas espécies praticamente não dormem, só para não parar de se alimentar, caso contrário poderiam morrer. Considerando que o musaranho vive em média 2 anos e que o tempo que dorme é desprezível, responda:Quantos quilos de alimento o musaranho come durante sua vida?
a)74 Kg d)87,6Kg
b)78,5 Kg e)92Kg
c)83 Kg
Solução:
Sabemos que 2 anos = 2 ● 365 = 730 dias e que ele come 24h/3h = 8 vezes por dia. Logo, temos:
15g ● 8 ● 730 dias = 87600g
= 87600g (:1000)
= 87,6kg
Resposta: item D
16.Na China existem atualmente cerca de 750 ursos panda, espécie em extinção. Desse total, 52% são fêmeas e o restante, machos. Suponhamos que elas comecem a morrer, de tal modo que o número de fêmeas restantes represente apenas 25% do total de animais sobreviventes. Quantas fêmeas sobreviveram?
a)120 b)270 c)360 d)252 e)190
Solução:
Sendo m o número de ursos machos e f , o número de ursos fêmeas, temos:
m + f = 750
f = 52/100 ● 750 = 390
m = 750 – 390 = 360
Dos animais sobreviventes, as fêmeas representam 25% e os machos, 100% - 25% = 75% .Sendo x o número de fêmeas sobreviventes, como nenhum dos ursos machos morreram , temos:
X ---------------25%
360---------------75%
Logo, vem:
75x = 25 ● 360(:25)
3x = 360(:3) ►x = 120
Resposta: item A
Professor Evânio
