AULAS DE MATEMÁTICA DE FORMA TRANQUILA PARA QUEM BUSCA A COMPREENSÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO.
sexta-feira, 5 de abril de 2013
terça-feira, 8 de janeiro de 2013
Localização
Profº Evânio Psicopedagogia em Matemática -
*Atendimento. * Antes de ligar preste atenção:
Horário agendado é horário a ser cumprido, é seu para aula, será cobrado se não avisar com 4 horas de antecedência.
Atendimento por agendamento.
11 9 7539-1905 Professor Evânio.
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segunda-feira, 2 de abril de 2012
LISTA DE EXERCÍCIOS: DIAGRAMA DE VENN.
LISTA DE EXERCÍCIOS: DIAGRAMA DE VENN.
1)Foi feita uma pesquisa em sala de aula com 50 alunos e obteve-se o seguinte resultado. 17 gostavam somente de coxinha e 21 gostavam somente de risólis. Sabendo que cada aluno gostava de pelo menos um desses salgadinhos, quantos gostavam de ambos?
2)Numa escola com 630 alunos, 250 estudam matemática, 210 estudam física e 90 deles estudam as duas matérias. Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam somente matemática?
b) Quantos alunos estudam somente física ?
c) Quantos alunos estudam matemática ou física ?
d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias ?
3) Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois. Quantas pessoas foram consultadas?
4) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas utilizam os produtos A ou B. O produto B é utilizado por 800 pessoas e 320 utilizam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A ?
5) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.
a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?
b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) Quantos jogam vôlei e não jogam tênis?
6) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada em um grupo com 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 18 deles têm o antígeno AB. Nessas condições pede-se o número de pacientes cujo sangue tem o antígeno O.
1)Foi feita uma pesquisa em sala de aula com 50 alunos e obteve-se o seguinte resultado. 17 gostavam somente de coxinha e 21 gostavam somente de risólis. Sabendo que cada aluno gostava de pelo menos um desses salgadinhos, quantos gostavam de ambos?
2)Numa escola com 630 alunos, 250 estudam matemática, 210 estudam física e 90 deles estudam as duas matérias. Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam somente matemática?
b) Quantos alunos estudam somente física ?
c) Quantos alunos estudam matemática ou física ?
d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias ?
3) Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois. Quantas pessoas foram consultadas?
4) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas utilizam os produtos A ou B. O produto B é utilizado por 800 pessoas e 320 utilizam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A ?
5) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.
a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?
b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) Quantos jogam vôlei e não jogam tênis?
6) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada em um grupo com 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 18 deles têm o antígeno AB. Nessas condições pede-se o número de pacientes cujo sangue tem o antígeno O.
Regra de três : Simple e Composta
Definição: Regra de três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou grandezas inversamente proporcionais.
Regra de Três SimplesO problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples.
Exercício de fixação da definição:
Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?
Grandeza 1: Distância percorrida
Grandeza 2: Tempo necessário
Cálculo:
Distância 1 = 480 Km - 02 horas
Distância 2 = ? Km - 06 horas
01 hora percorrida = 240 km
06 horas percorrida = 240 Km x 6
Resultado: 1440 Kms
Método mais prático de solução da regra de três simples
Faça um X na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km
480 km - 02 horas
X
? km - 06 horas
Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km
Regra de três compostaEste tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais.
Exercícios de fixação da definição:
1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?
Grandeza 1 : Número de homens trabalhando
Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho
Grandeza 3 : Tamanho do muro
2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??
Grandeza 1: Número de carros
Grandeza 2: Número de dias
Grandeza 3: Quantidade combustível
Método mais prático de solução da regra de três composta
Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.
A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.
Veja:
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.
Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração
2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?
Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)
Assim: 22 metros custarão R$ 110,00
3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas
Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)
Exercícios de regra de três simples e compostaAs respostas estão no final da página.
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?
25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?
32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?
33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?
34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?
35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?
36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :
a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?
b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?
37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?
38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?
39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?
40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?
41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 cm3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?
42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?
43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?
44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?
45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?
46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?
47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?
48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?
49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?
50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?
51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?
52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?
54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?
55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?
56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?
57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?
58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?
59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?
60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?
61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?
62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?
63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?
64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?
65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?
66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?
69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?
70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?
71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?
72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?
73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?
74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?
76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?
78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?
80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?
82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?
83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.
Regra de Três – Questões Objetivas 84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:
a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias
85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :
a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50
86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:
a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000
87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:
a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km
88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?
a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas
89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?
a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias
90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?
a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias
91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:
a) 2 min b) 2 min e 19 segundos
c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos
92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :
a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros
93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18
94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?
a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas
95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?
a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00
c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00
96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :
a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.
c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.
97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :
a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.
c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00
98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5
99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :
a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.
100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:
a) 8 dias b) 9 dias
c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.
101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?
a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos
102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos
d) 5 gatos e) 6 gatos
102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :
a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias
103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :
a) triplicar o nº de operários
b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia
c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de
operários
d) duplicar o nº de operários
e) duplicar o nº de operários e o número de horas
trabalhadas por dia
104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7h 42 min
b) 7h 44 min
c) 7h 46 min
d) 7h 48 min
e) 7h 50 min
105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:
a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias
d) 45 dias e) 180 dias
106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50
107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :
a) b) c) d) e)
Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta
01) 40 kg
02) 14 sacas
03) 42 litros
04) 60 min
05) R$ 3,60
06) 8 máquinas
07) 702 litros
08) 77 caixas
09) 532 km
10) 15 litros
11) 33 h 20 min
12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias
14) 14 cm
15) 10 cm
16) 40 m3
17) 5.250 voltas
18) 110 g
19) 18 cm
20) 55 fitas
21) 56.250 litros
22) Nota 8
23) 9 metros
24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m
26) 7.840 litros
27) 43.925 cm
28) 3.600 g
29) 300 azulejos
30) 40 graus
31) 770 m2
32) 42 m/s
33) 108 km/h
34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas
36) a)84 min b) 1 h 24 min
37) 14 dias
38) 10 dias
39) 4 horas
40) 60 km/h
41) 20 caminhões
42) 41 m
43) 20 metros
44) 40 dias
45) 14 peças
46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min
48) 96 horas
49) 25 operários
50) 40 latas
51) 3 minutos
52) 10 caminhões
53) 4 horas
54) 25 m
55) 20 cm
56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas
58) 420 páginas
59) 80 km/h
60) 75 voltas
61) 2.170 km
62) 2 horas
63) 4 dias
64) 150 kg
65) 50 dias
66) 250 litros
67) 32 operários
68) 15 dias
69) 16 dias
70) 4 dias
71) 216 caixas
72) 7 kw 73) 24 ovos
74) 5 min
75) 12 máquinas
76) 5 kg
77) 9 horas
78) 1.800 toneladas
79) 18 dias
80) 300 litros
81) 360 famílias
82) 480 colares
83) 5 horas
84) letra b
85) letra b
86) letra c
87) letra d
88) letra b
89) letra c
90) letra b
91) letra c
92) letra d
93) letra c
94) letra c
95) letra b
96) letra a
97) letra a
98) letra d
99) letra c
100) letra a
101) letra c
102) letra a
103) letra e
104) letra d
105) letra d
106) letra d
107) letra e
Regra de Três SimplesO problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples.
Exercício de fixação da definição:
Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?
Grandeza 1: Distância percorrida
Grandeza 2: Tempo necessário
Cálculo:
Distância 1 = 480 Km - 02 horas
Distância 2 = ? Km - 06 horas
01 hora percorrida = 240 km
06 horas percorrida = 240 Km x 6
Resultado: 1440 Kms
Método mais prático de solução da regra de três simples
Faça um X na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km
480 km - 02 horas
X
? km - 06 horas
Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km
Regra de três compostaEste tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais.
Exercícios de fixação da definição:
1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?
Grandeza 1 : Número de homens trabalhando
Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho
Grandeza 3 : Tamanho do muro
2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??
Grandeza 1: Número de carros
Grandeza 2: Número de dias
Grandeza 3: Quantidade combustível
Método mais prático de solução da regra de três composta
Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.
A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.
Veja:
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.
Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração
2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?
Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)
Assim: 22 metros custarão R$ 110,00
3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas
Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)
Exercícios de regra de três simples e compostaAs respostas estão no final da página.
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?
25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?
32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?
33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?
34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?
35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?
36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :
a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?
b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?
37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?
38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?
39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?
40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?
41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 cm3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?
42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?
43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?
44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?
45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?
46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?
47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?
48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?
49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?
50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?
51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?
52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?
54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?
55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?
56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?
57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?
58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?
59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?
60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?
61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?
62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?
63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?
64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?
65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?
66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?
69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?
70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?
71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?
72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?
73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?
74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?
76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?
78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?
80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?
82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?
83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.
Regra de Três – Questões Objetivas 84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:
a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias
85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :
a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50
86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:
a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000
87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:
a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km
88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?
a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas
89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?
a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias
90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?
a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias
91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:
a) 2 min b) 2 min e 19 segundos
c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos
92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :
a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros
93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18
94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?
a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas
95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?
a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00
c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00
96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :
a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.
c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.
97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :
a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.
c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00
98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5
99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :
a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.
100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:
a) 8 dias b) 9 dias
c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.
101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?
a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos
102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos
d) 5 gatos e) 6 gatos
102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :
a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias
103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :
a) triplicar o nº de operários
b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia
c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de
operários
d) duplicar o nº de operários
e) duplicar o nº de operários e o número de horas
trabalhadas por dia
104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7h 42 min
b) 7h 44 min
c) 7h 46 min
d) 7h 48 min
e) 7h 50 min
105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:
a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias
d) 45 dias e) 180 dias
106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50
107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :
a) b) c) d) e)
Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta
01) 40 kg
02) 14 sacas
03) 42 litros
04) 60 min
05) R$ 3,60
06) 8 máquinas
07) 702 litros
08) 77 caixas
09) 532 km
10) 15 litros
11) 33 h 20 min
12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias
14) 14 cm
15) 10 cm
16) 40 m3
17) 5.250 voltas
18) 110 g
19) 18 cm
20) 55 fitas
21) 56.250 litros
22) Nota 8
23) 9 metros
24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m
26) 7.840 litros
27) 43.925 cm
28) 3.600 g
29) 300 azulejos
30) 40 graus
31) 770 m2
32) 42 m/s
33) 108 km/h
34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas
36) a)84 min b) 1 h 24 min
37) 14 dias
38) 10 dias
39) 4 horas
40) 60 km/h
41) 20 caminhões
42) 41 m
43) 20 metros
44) 40 dias
45) 14 peças
46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min
48) 96 horas
49) 25 operários
50) 40 latas
51) 3 minutos
52) 10 caminhões
53) 4 horas
54) 25 m
55) 20 cm
56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas
58) 420 páginas
59) 80 km/h
60) 75 voltas
61) 2.170 km
62) 2 horas
63) 4 dias
64) 150 kg
65) 50 dias
66) 250 litros
67) 32 operários
68) 15 dias
69) 16 dias
70) 4 dias
71) 216 caixas
72) 7 kw 73) 24 ovos
74) 5 min
75) 12 máquinas
76) 5 kg
77) 9 horas
78) 1.800 toneladas
79) 18 dias
80) 300 litros
81) 360 famílias
82) 480 colares
83) 5 horas
84) letra b
85) letra b
86) letra c
87) letra d
88) letra b
89) letra c
90) letra b
91) letra c
92) letra d
93) letra c
94) letra c
95) letra b
96) letra a
97) letra a
98) letra d
99) letra c
100) letra a
101) letra c
102) letra a
103) letra e
104) letra d
105) letra d
106) letra d
107) letra e
quinta-feira, 29 de março de 2012
Sistema de equação do 1º grau
Sistema de equação do 1º grau
II – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.
1º) método da adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.
EXEMPLO:
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x
2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.
3º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
2º) método da substituição
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLO:
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
3º) método da igualdade
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra, depois basta igualar as duas, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita. Exemplo:
1º passo: vamos isolar o y na primeira e na segunda equação equação para podermos igualar as equações.
2º passo: igualar as duas equações para encontrar o valor de x.
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
Como podemos observar, independente do método, a solução é a mesma. Então basta escolher o método que seja mais rápido e seguro
II – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.
1º) método da adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.
EXEMPLO:
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x
2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.
3º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
2º) método da substituição
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLO:
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
3º) método da igualdade
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra, depois basta igualar as duas, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita. Exemplo:
1º passo: vamos isolar o y na primeira e na segunda equação equação para podermos igualar as equações.
2º passo: igualar as duas equações para encontrar o valor de x.
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
Como podemos observar, independente do método, a solução é a mesma. Então basta escolher o método que seja mais rápido e seguro
Aulas de matemática diferente do kumon.
Prof Evânio
Sou professor licenciado em matemática plena com pós graduação em psicopedagogia voltado para o ensino de matemática.
Psicólogo clínico crp 06/100708.
Preços e formas de pagamento.aulas particulares de matemática para pessoas com dificuldades de aprender, nível fundamental, médio, superior e concurso.
Aulas particulares de matemática para pessoas com dificuldades de aprender.
nível fundamental, médio, superior e concurso. reforço de matemática para todos os níveis. método de aulas diferente do método kumon.
A matemática desenvolve a inteligência e o processo cognitivo. aulas no centro de sbc, próx a igreja matriz. rua rio branco 515 sala 1.
fones: 8312-0038 e 4332 5568
As aulas são individuais apenas atendo 1 aluno por vez.
A hora aula é R$ 80,00 - O pagamento é á vista.
Sugestão fazer o pacote: as aulas particulares funcionam assim:
1 atendimento de 2 horas por semana em 4 semanas.
O pagamento é R$ 640,00 á vista .
Sou professor licenciado em matemática plena com pós graduação em psicopedagogia voltado para o ensino de matemática.
Psicólogo clínico crp 06/100708.
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quarta-feira, 28 de março de 2012
Algumas Questões de concursos
Questões Resolvidas de Matemática II
01.A Polícia Federal interceptou duas malas abarrotadas de dinheiro, contendo um total de R$3.000.000,00, somente em notas de 100 e de 50 reais. A quantidade de cédulas de 100 da mala preta era igual à quantidade de cédulas de 50 da mala marrom, e vice-versa. Após a perícia, um policial encheu a mala preta com notas de 100 reais e pôs as cédulas restantes na mala marrom, de tal modo que as duas malas ficaram com quantias iguais. Quantas notas foram colocadas na mala marrom?
a)20000 d)17000
b)18000 e)25000
c)23000
Solução:
Sendo x o número de cédulas de R$100,00 e y o número de cédulas de R$50,00 ,vem:
100x + 50y = 3000000 (:50)
2x + y = 60000
Como x = y ,temos:
2x + x = 60000
3x = 60000(:3)
x =20000
Logo, y =20000.
▪Total de cédulas = 40000
Como as duas malas ficaram com quantias iguais, cada mala ficará com R$1.500.000,00.
Portanto, a mala preta ficará com
1500000 :100 = 15000 cédulas de R$100,00
Como o número total de cédulas é 40000, a mala marrom ficará com
40000 – 15000 = 25000 cédulas
Resposta : item E
02.Uma disputa de dois palitinhos entre dois jogadores é feita da seguinte maneira:
• cada jogador mostra uma mão fechada dentro da qual podem estar nenhum, um ou dois palitinhos,
• em seguida cada um deles diz quanto deve dar a soma das quantidades de palitinhos das mãos dos dois jogadores,
• feitos os palpites, ambos abrem a mão para verificar se alguém acertou e, se nenhum dos dois tiver acertado, eles repetem o processo.
Suponha que você entrará no jogo, sem palitinho, da seguinte maneira: você poderá fazer o primeiro palpite, isto é, depois que as mãos já estiverem apresentadas e fechadas, mas antes de os dois fazerem seus palpites, você diz qual será a soma das quantidades de palitinhos. Para que a probabilidade de você acertar seja a maior possível, sua aposta deve ser que a soma será igual a
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
Solução:
Temos:
Soma = 0 ►(0,0)
Soma = 1 ►(0,1) ou (1,0)
Soma = 2 ►(0,2), (2,0) ou (1,1)
Soma = 3 ►(1,2) ou (2,1)
Soma = 4 ►(2,2)
Logo,para que a probabilidade de você acertar seja a maior possível, sua aposta deve ser que a soma será igual a 2.
Resposta: item C
03.Você sabia?
▪Se você pegar uma concha em formato de espiral e calcular a razão de cada diâmetro de uma espiral para a seguinte, chegará sempre a um valor aproximado de 1,618.
▪A divisão da altura de uma pessoa pela distância entre seu umbigo e o chão dará aproximadamente o mesmo valor de 1,618.
▪Se você dividir o número de fêmeas pelo número de machos em uma colméia de abelhas, sempre chegará ao mesmo número aproximado: 1,618.
Calcule, aproximadamente, o percentual de fêmeas em uma colméia.
a)38,2% d)65,7%
b)61,8% e)54,5%
c)34,3%
Solução:
Se, na colmeia, a razão
fêmeas / machos = 1,618,
então :
fêmeas = machos × 1,618.
Isto significa que se tivermos 1000 machos, teremos 1618 fêmeas em um total de:
1000 + 1618 = 2618 abelhas.
Logo, aproximadamente, a porcentagem de fêmeas é :
1618 / 2618 = 0,618 = 61,8%
Resposta: item B
04.Os tamanhos de chapéus masculinos na Inglaterra,França e Estados Unidos são diferentes. A função f(x)= (x – 1)/8 converte os tamanhos franceses para os ingleses, e a função g(x) = 8x converte os tamanhos norte-americanos para os franceses. Qual das funções a seguir converte o tamanho x dos norte-americanos para o tamanho h(x) dos ingleses?
a) h(x) = x – 1/8 d) h(x) = (x + 1)/8
b) h(x) = (x – 1)/8 e) h(x) = 8x + 1
c) h(x) = x + 1/8
Solução:
Temos:
f(x) = (x-1)/8 e g(x) = 8x
Logo, vem:
h(x) = f(g(x))
h(x) = f(8x)
h(x) = (8x – 1)/8
h(x) = x – 1/8
Resposta: item A
05.O departamento de arqueologia da Universidade de Oxford mantém em sua biblioteca uma coleção de aproximadamente 500.000 papiros, todos com mais de 1000 anos de idade, cujo conteúdo começou a ser desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnica chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela Nasa. Se um computador, munido de um sistema de inteligência artificial, conseguir decifrar o conteúdo de cada um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10 anos, então toda a coleção de papiros citada será decifrada em
a) aproximadamente 20 anos.
b) aproximadamente 40 anos.
c) aproximadamente 50 anos.
d) aproximadamente 80 anos.
e) aproximadamente 100 anos.
Solução:
Temos uma P.G. de razão 1/2 tendendo para o infinito. Logo,vem:
S = a1 /( 1 – q)
S = 10 / (1 – 1/2)
S = 10● 2 \ S = 20 anos
Resposta: item A
06. (FUVEST) – Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas dez músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente:
a) 10 dias d)100 séculos
b) Um século e)10 séculos
c) 10 anos
Solução:
Trata-se de um problema de permutações simples, ou seja, calcular o número de permutações simples de 10 elementos. Da teoria, teremos:
P10 = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Portanto serão necessários 10! (fatorial de 10) dias, para esgotar todas as possibilidades. Vamos converter esse número em anos e, para isto, vamos dividir por 360 dias (o mais exato seria dividir por 365 dias = 1 ano, mas o problema pede uma solução aproximada). Logo, vem:
(10●9●8●7●6●5●4●3●2●1) / 360
10●9●8●7●2
10080 anos
Como um século tem 100 anos ,temos:
10080 / 100
Que é aproximadamente igual a 100 séculos.
Logo, serão necessários,aproximadamente,100 séculos para esgotar todas as possibilidades.
Resposta: item D
07.Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
a)R$4095,00 d)R$1098,00
b)R$3820,00 e)R$548,00
c)R$2685,00
Solução:
Se a jovem soubesse Matemática não teria recusado o trabalho. Observe que no primeiro dia ela teria recebido R$1,00, no segundo dia R$2,00 , no terceiro R$4,00 , no quarto R$8,00 e assim por diante. Assim, teríamos uma progressão geométrica de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 1. Então, ela teria recebido pelos 12 dias trabalhados um total que é a soma dos 12 primeiros termos desta P.G. , ou seja:
S = a1(qn - 1) / (q - 1), onde n = 12.
Daí, vem que:
S = 1(212 - 1) / (2 - 1)
S = 212 - 1
S= 4096 – 1 →S = R$4.095,00.
Resposta: Alternativa A
08.Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$300,00
a)R$208,00 d)R$174,00
b)R$136,00 e)R$145,00
c)R$165,00
Solução:
Observe que a soma S é a soma (ou série) dos 30 primeiros termos da PA (1 , 2 , 3 , 4 , ... , 29 , 30),onde a1= 1 , a30 = 30 e n =30. Sendo assim, temos:
S =( a1 + a30)•n/2
S =(1 + 30)•30/2
S = 31•15 → S =R$465,00
Logo, Riquinho receberá:
465 - 300 = R$165,00 a mais
Resposta: Alternativa C
09.(TRF/2007/FCC) Técnico Judiciário Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de:
a) 6 horas
b) 6 horas e 10 minutos
c) 6 horas e 54 minutos
d) 7 horas e 12 minutos
e) 8 horas e meia.
Solução:
Neste tipo de questão é conveniente analisar o que acontece em 1 hora.Assim,se o 1º técnico realiza o trabalho em 9 horas, em 1 hora, ele realizará 1/9 do trabalho.Se o 2º gasta x horas para realizar o trabalho,em 1 hora ele realiza a fração 1/x do trabalho. Se, trabalhando juntos, conforme o enunciado, eles arquivam o lote de processos em 4 horas,em 1 hora, também juntos,eles realizariam 1/4 do trabalho.Somando as suas capacidades individuais, sempre para 1 hora de trabalho, teremos a equação : 1/9 +1/x = 1/4, que resolvendo temos:
1/9 + 1/x = 1/4
mmc(9 , 4 , x) = 36x
4x + 36 = 9x
36 = 9x – 4x
36 = 5x
X = 36/5
X = 7 horas + 1/5 hora
X = 7 horas + (1/5 hora)●60
\ X = 7 horas + 12 minutos
Resposta: item D
10.Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores.A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que
a)o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades não é suficiente para cobrir os gastos adicionais.
b)o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõe cobrirá exatamente os gastos adicionais.
c)a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais.
d) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas.
e) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.
Solução:
Sendo m a arrecadação inicial das mensalidades e p o porcentual de aumento necessário para cobrir o
aumento de 5% nos salários dos professores, tem-se:
5% . 40%m = p % m ►p = 2%
Portanto, um aumento de 5% nas mensalidades está acima do necessário para cobrir os gastos adicionais.
Resposta: item C
11.A Terra completa uma volta ao redor do Sol em 365,242190 dias aproximadamente, e não em 365 dias. Para corrigir essa diferença, existem os anos bissextos, com 366 dias. Convencionou-se que um ano n é bissexto se, e somente se, uma das seguintes condições for verificada:
▪condição 1: n é um múltiplo de 400.
▪condição 2: n é um múltiplo de 4 e n não é múltiplo de 100.
Com base nessa convenção, podemos afirmar que:
a) poderá haver um ano n bissexto, sem que n seja um múltiplo de 4.
b) se n(n maior ou igual a 2012), é divisível por 4, então o ano n será bissexto.
c) o ano 2200 não será bissexto.
d) o ano 2400 não será bissexto.
e) o ano 2500 será bissexto
Solução:
Um ano é bissexto quando é divisível por 4. Caso termine em dois zeros ,só será bissexto se for divisível por 400.
Como o ano de 2200 termina em dois zeros , mas , não é divisível por 400, podemos concluir que o ano de 2200 não será bissexto
Resposta : item C
12.O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desde cerca 10 -12 w/m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m2 (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido é sensível e também em virtude de a sensação psicologica da intensidade sonora não variar diretamente com a intensidade mas, com melhor aproximação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-Fechner), usa-se uma escala logarítma para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por G=10log(I/10 -12), onde I é a intensidade do som. Calcule, em decibéis, nessa escala, o limiar de audição dolorosa.
a)120 b)94 c)130 d)135 d) 99
Solução:
No limiar da dor a intensidade do som (em w/m2) é I = 1,
Assim, G = 10 log ( 1 / 10 -12) = 10 log ( 10 12).
Como log(a)b = b log (a) e log 10 = 1, pois, 101 = 10, vem que
G = 120 log (10) = 120 decibéis.
Resposta: item A
13.A Câmara de um determinado município é composta de 45 vereadores, sendo 4/9 deles da base governista,1/3 de oposição e o restante proveniente de partidos pequenos, que não são nem governistas nem de oposição. Para votar qualquer projeto de lei municipal, é necessário que estejam presentes pelo menos um vereador de cada um dos três grupos citados. Se a única informação que o prefeito deste município dispõe durante cada reunião da Câmara é o número de vereadores presentes, para ter certeza de que os projetos de lei municipal em pauta naquele dia serão votados, é necessário que ele obtenha o número mínimo de
a) 10 vereadores presentes.
b) 11 vereadores presentes.
c) 20 vereadores presentes.
d) 35 vereadores presentes.
e) 36 vereadores presentes.
Solução:
Do enunciado, temos:
●Base governista ► 4/9 ● 45 =20
●Oposição ►1/3 ● 45 = 15
●Pequenos partidos ►10
Para haver votação é necessário pelo menos um de cada um dos três grupos. Assim, o número mínimo é igual a:
20 + 15 + 1 = 36
Resposta: item E
14.No pátio de uma oficina mecânica existem 12 carros para serem consertados. Os cinco mecânicos desta oficina têm uma estranha maneira de trabalhar: eles se sentam ao redor de uma mesa, sorteiam entre si uma dupla de mecânicos que irá consertar um dos carros quebrados do pátio, enquanto os outros três ficarão esperando. Depois que a dupla sorteada finaliza o carro que lhe foi destinado, os dois mecânicos que a compunham voltam para a mesa e é feito um novo sorteio, até que todos os carros estejam consertados. É correto afirmar que
a) no máximo duas duplas irão consertar mais do que um carro.
b) existe pelo menos uma dupla que não será sorteada.
c) cada um dos mecânicos será sorteado pelo menos uma vez.
d) pelo menos uma dupla irá consertar mais do que um carro.
e) todas as possíveis duplas consertarão pelo menos um carro.
Solução:
Existe um total de C5,2 = 10 duplas diferentes que podem ser formadas; o número máximo de carros que podem ser consertados por duplas diferentes, então, é igual a 10. Como são 12 carros, pelos menos uma mesma dupla irá consertar mais de um carro.
Resposta: item D
15.O musaranho é o menor dos mamíferos; tem massa de 15g e alguns não passam de 2,5cm. Como tamanho não é documento, o musaranho é um dos animais mais violentos. ataca e devora animais que medem o dobro do tamanho dele. Além disso, o musaranho é tão voraz que ele come o equivalente a sua massa de 3 em 3 horas. Algumas espécies praticamente não dormem, só para não parar de se alimentar, caso contrário poderiam morrer. Considerando que o musaranho vive em média 2 anos e que o tempo que dorme é desprezível, responda:Quantos quilos de alimento o musaranho come durante sua vida?
a)74 Kg d)87,6Kg
b)78,5 Kg e)92Kg
c)83 Kg
Solução:
Sabemos que 2 anos = 2 ● 365 = 730 dias e que ele come 24h/3h = 8 vezes por dia. Logo, temos:
15g ● 8 ● 730 dias = 87600g
= 87600g (:1000)
= 87,6kg
Resposta: item D
16.Na China existem atualmente cerca de 750 ursos panda, espécie em extinção. Desse total, 52% são fêmeas e o restante, machos. Suponhamos que elas comecem a morrer, de tal modo que o número de fêmeas restantes represente apenas 25% do total de animais sobreviventes. Quantas fêmeas sobreviveram?
a)120 b)270 c)360 d)252 e)190
Solução:
Sendo m o número de ursos machos e f , o número de ursos fêmeas, temos:
m + f = 750
f = 52/100 ● 750 = 390
m = 750 – 390 = 360
Dos animais sobreviventes, as fêmeas representam 25% e os machos, 100% - 25% = 75% .Sendo x o número de fêmeas sobreviventes, como nenhum dos ursos machos morreram , temos:
X ---------------25%
360---------------75%
Logo, vem:
75x = 25 ● 360(:25)
3x = 360(:3) ►x = 120
Resposta: item A
Professor Evânio
01.A Polícia Federal interceptou duas malas abarrotadas de dinheiro, contendo um total de R$3.000.000,00, somente em notas de 100 e de 50 reais. A quantidade de cédulas de 100 da mala preta era igual à quantidade de cédulas de 50 da mala marrom, e vice-versa. Após a perícia, um policial encheu a mala preta com notas de 100 reais e pôs as cédulas restantes na mala marrom, de tal modo que as duas malas ficaram com quantias iguais. Quantas notas foram colocadas na mala marrom?
a)20000 d)17000
b)18000 e)25000
c)23000
Solução:
Sendo x o número de cédulas de R$100,00 e y o número de cédulas de R$50,00 ,vem:
100x + 50y = 3000000 (:50)
2x + y = 60000
Como x = y ,temos:
2x + x = 60000
3x = 60000(:3)
x =20000
Logo, y =20000.
▪Total de cédulas = 40000
Como as duas malas ficaram com quantias iguais, cada mala ficará com R$1.500.000,00.
Portanto, a mala preta ficará com
1500000 :100 = 15000 cédulas de R$100,00
Como o número total de cédulas é 40000, a mala marrom ficará com
40000 – 15000 = 25000 cédulas
Resposta : item E
02.Uma disputa de dois palitinhos entre dois jogadores é feita da seguinte maneira:
• cada jogador mostra uma mão fechada dentro da qual podem estar nenhum, um ou dois palitinhos,
• em seguida cada um deles diz quanto deve dar a soma das quantidades de palitinhos das mãos dos dois jogadores,
• feitos os palpites, ambos abrem a mão para verificar se alguém acertou e, se nenhum dos dois tiver acertado, eles repetem o processo.
Suponha que você entrará no jogo, sem palitinho, da seguinte maneira: você poderá fazer o primeiro palpite, isto é, depois que as mãos já estiverem apresentadas e fechadas, mas antes de os dois fazerem seus palpites, você diz qual será a soma das quantidades de palitinhos. Para que a probabilidade de você acertar seja a maior possível, sua aposta deve ser que a soma será igual a
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
Solução:
Temos:
Soma = 0 ►(0,0)
Soma = 1 ►(0,1) ou (1,0)
Soma = 2 ►(0,2), (2,0) ou (1,1)
Soma = 3 ►(1,2) ou (2,1)
Soma = 4 ►(2,2)
Logo,para que a probabilidade de você acertar seja a maior possível, sua aposta deve ser que a soma será igual a 2.
Resposta: item C
03.Você sabia?
▪Se você pegar uma concha em formato de espiral e calcular a razão de cada diâmetro de uma espiral para a seguinte, chegará sempre a um valor aproximado de 1,618.
▪A divisão da altura de uma pessoa pela distância entre seu umbigo e o chão dará aproximadamente o mesmo valor de 1,618.
▪Se você dividir o número de fêmeas pelo número de machos em uma colméia de abelhas, sempre chegará ao mesmo número aproximado: 1,618.
Calcule, aproximadamente, o percentual de fêmeas em uma colméia.
a)38,2% d)65,7%
b)61,8% e)54,5%
c)34,3%
Solução:
Se, na colmeia, a razão
fêmeas / machos = 1,618,
então :
fêmeas = machos × 1,618.
Isto significa que se tivermos 1000 machos, teremos 1618 fêmeas em um total de:
1000 + 1618 = 2618 abelhas.
Logo, aproximadamente, a porcentagem de fêmeas é :
1618 / 2618 = 0,618 = 61,8%
Resposta: item B
04.Os tamanhos de chapéus masculinos na Inglaterra,França e Estados Unidos são diferentes. A função f(x)= (x – 1)/8 converte os tamanhos franceses para os ingleses, e a função g(x) = 8x converte os tamanhos norte-americanos para os franceses. Qual das funções a seguir converte o tamanho x dos norte-americanos para o tamanho h(x) dos ingleses?
a) h(x) = x – 1/8 d) h(x) = (x + 1)/8
b) h(x) = (x – 1)/8 e) h(x) = 8x + 1
c) h(x) = x + 1/8
Solução:
Temos:
f(x) = (x-1)/8 e g(x) = 8x
Logo, vem:
h(x) = f(g(x))
h(x) = f(8x)
h(x) = (8x – 1)/8
h(x) = x – 1/8
Resposta: item A
05.O departamento de arqueologia da Universidade de Oxford mantém em sua biblioteca uma coleção de aproximadamente 500.000 papiros, todos com mais de 1000 anos de idade, cujo conteúdo começou a ser desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnica chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela Nasa. Se um computador, munido de um sistema de inteligência artificial, conseguir decifrar o conteúdo de cada um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10 anos, então toda a coleção de papiros citada será decifrada em
a) aproximadamente 20 anos.
b) aproximadamente 40 anos.
c) aproximadamente 50 anos.
d) aproximadamente 80 anos.
e) aproximadamente 100 anos.
Solução:
Temos uma P.G. de razão 1/2 tendendo para o infinito. Logo,vem:
S = a1 /( 1 – q)
S = 10 / (1 – 1/2)
S = 10● 2 \ S = 20 anos
Resposta: item A
06. (FUVEST) – Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas dez músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente:
a) 10 dias d)100 séculos
b) Um século e)10 séculos
c) 10 anos
Solução:
Trata-se de um problema de permutações simples, ou seja, calcular o número de permutações simples de 10 elementos. Da teoria, teremos:
P10 = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Portanto serão necessários 10! (fatorial de 10) dias, para esgotar todas as possibilidades. Vamos converter esse número em anos e, para isto, vamos dividir por 360 dias (o mais exato seria dividir por 365 dias = 1 ano, mas o problema pede uma solução aproximada). Logo, vem:
(10●9●8●7●6●5●4●3●2●1) / 360
10●9●8●7●2
10080 anos
Como um século tem 100 anos ,temos:
10080 / 100
Que é aproximadamente igual a 100 séculos.
Logo, serão necessários,aproximadamente,100 séculos para esgotar todas as possibilidades.
Resposta: item D
07.Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
a)R$4095,00 d)R$1098,00
b)R$3820,00 e)R$548,00
c)R$2685,00
Solução:
Se a jovem soubesse Matemática não teria recusado o trabalho. Observe que no primeiro dia ela teria recebido R$1,00, no segundo dia R$2,00 , no terceiro R$4,00 , no quarto R$8,00 e assim por diante. Assim, teríamos uma progressão geométrica de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 1. Então, ela teria recebido pelos 12 dias trabalhados um total que é a soma dos 12 primeiros termos desta P.G. , ou seja:
S = a1(qn - 1) / (q - 1), onde n = 12.
Daí, vem que:
S = 1(212 - 1) / (2 - 1)
S = 212 - 1
S= 4096 – 1 →S = R$4.095,00.
Resposta: Alternativa A
08.Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$300,00
a)R$208,00 d)R$174,00
b)R$136,00 e)R$145,00
c)R$165,00
Solução:
Observe que a soma S é a soma (ou série) dos 30 primeiros termos da PA (1 , 2 , 3 , 4 , ... , 29 , 30),onde a1= 1 , a30 = 30 e n =30. Sendo assim, temos:
S =( a1 + a30)•n/2
S =(1 + 30)•30/2
S = 31•15 → S =R$465,00
Logo, Riquinho receberá:
465 - 300 = R$165,00 a mais
Resposta: Alternativa C
09.(TRF/2007/FCC) Técnico Judiciário Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de:
a) 6 horas
b) 6 horas e 10 minutos
c) 6 horas e 54 minutos
d) 7 horas e 12 minutos
e) 8 horas e meia.
Solução:
Neste tipo de questão é conveniente analisar o que acontece em 1 hora.Assim,se o 1º técnico realiza o trabalho em 9 horas, em 1 hora, ele realizará 1/9 do trabalho.Se o 2º gasta x horas para realizar o trabalho,em 1 hora ele realiza a fração 1/x do trabalho. Se, trabalhando juntos, conforme o enunciado, eles arquivam o lote de processos em 4 horas,em 1 hora, também juntos,eles realizariam 1/4 do trabalho.Somando as suas capacidades individuais, sempre para 1 hora de trabalho, teremos a equação : 1/9 +1/x = 1/4, que resolvendo temos:
1/9 + 1/x = 1/4
mmc(9 , 4 , x) = 36x
4x + 36 = 9x
36 = 9x – 4x
36 = 5x
X = 36/5
X = 7 horas + 1/5 hora
X = 7 horas + (1/5 hora)●60
\ X = 7 horas + 12 minutos
Resposta: item D
10.Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores.A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que
a)o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades não é suficiente para cobrir os gastos adicionais.
b)o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõe cobrirá exatamente os gastos adicionais.
c)a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais.
d) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas.
e) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.
Solução:
Sendo m a arrecadação inicial das mensalidades e p o porcentual de aumento necessário para cobrir o
aumento de 5% nos salários dos professores, tem-se:
5% . 40%m = p % m ►p = 2%
Portanto, um aumento de 5% nas mensalidades está acima do necessário para cobrir os gastos adicionais.
Resposta: item C
11.A Terra completa uma volta ao redor do Sol em 365,242190 dias aproximadamente, e não em 365 dias. Para corrigir essa diferença, existem os anos bissextos, com 366 dias. Convencionou-se que um ano n é bissexto se, e somente se, uma das seguintes condições for verificada:
▪condição 1: n é um múltiplo de 400.
▪condição 2: n é um múltiplo de 4 e n não é múltiplo de 100.
Com base nessa convenção, podemos afirmar que:
a) poderá haver um ano n bissexto, sem que n seja um múltiplo de 4.
b) se n(n maior ou igual a 2012), é divisível por 4, então o ano n será bissexto.
c) o ano 2200 não será bissexto.
d) o ano 2400 não será bissexto.
e) o ano 2500 será bissexto
Solução:
Um ano é bissexto quando é divisível por 4. Caso termine em dois zeros ,só será bissexto se for divisível por 400.
Como o ano de 2200 termina em dois zeros , mas , não é divisível por 400, podemos concluir que o ano de 2200 não será bissexto
Resposta : item C
12.O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desde cerca 10 -12 w/m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m2 (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido é sensível e também em virtude de a sensação psicologica da intensidade sonora não variar diretamente com a intensidade mas, com melhor aproximação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-Fechner), usa-se uma escala logarítma para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por G=10log(I/10 -12), onde I é a intensidade do som. Calcule, em decibéis, nessa escala, o limiar de audição dolorosa.
a)120 b)94 c)130 d)135 d) 99
Solução:
No limiar da dor a intensidade do som (em w/m2) é I = 1,
Assim, G = 10 log ( 1 / 10 -12) = 10 log ( 10 12).
Como log(a)b = b log (a) e log 10 = 1, pois, 101 = 10, vem que
G = 120 log (10) = 120 decibéis.
Resposta: item A
13.A Câmara de um determinado município é composta de 45 vereadores, sendo 4/9 deles da base governista,1/3 de oposição e o restante proveniente de partidos pequenos, que não são nem governistas nem de oposição. Para votar qualquer projeto de lei municipal, é necessário que estejam presentes pelo menos um vereador de cada um dos três grupos citados. Se a única informação que o prefeito deste município dispõe durante cada reunião da Câmara é o número de vereadores presentes, para ter certeza de que os projetos de lei municipal em pauta naquele dia serão votados, é necessário que ele obtenha o número mínimo de
a) 10 vereadores presentes.
b) 11 vereadores presentes.
c) 20 vereadores presentes.
d) 35 vereadores presentes.
e) 36 vereadores presentes.
Solução:
Do enunciado, temos:
●Base governista ► 4/9 ● 45 =20
●Oposição ►1/3 ● 45 = 15
●Pequenos partidos ►10
Para haver votação é necessário pelo menos um de cada um dos três grupos. Assim, o número mínimo é igual a:
20 + 15 + 1 = 36
Resposta: item E
14.No pátio de uma oficina mecânica existem 12 carros para serem consertados. Os cinco mecânicos desta oficina têm uma estranha maneira de trabalhar: eles se sentam ao redor de uma mesa, sorteiam entre si uma dupla de mecânicos que irá consertar um dos carros quebrados do pátio, enquanto os outros três ficarão esperando. Depois que a dupla sorteada finaliza o carro que lhe foi destinado, os dois mecânicos que a compunham voltam para a mesa e é feito um novo sorteio, até que todos os carros estejam consertados. É correto afirmar que
a) no máximo duas duplas irão consertar mais do que um carro.
b) existe pelo menos uma dupla que não será sorteada.
c) cada um dos mecânicos será sorteado pelo menos uma vez.
d) pelo menos uma dupla irá consertar mais do que um carro.
e) todas as possíveis duplas consertarão pelo menos um carro.
Solução:
Existe um total de C5,2 = 10 duplas diferentes que podem ser formadas; o número máximo de carros que podem ser consertados por duplas diferentes, então, é igual a 10. Como são 12 carros, pelos menos uma mesma dupla irá consertar mais de um carro.
Resposta: item D
15.O musaranho é o menor dos mamíferos; tem massa de 15g e alguns não passam de 2,5cm. Como tamanho não é documento, o musaranho é um dos animais mais violentos. ataca e devora animais que medem o dobro do tamanho dele. Além disso, o musaranho é tão voraz que ele come o equivalente a sua massa de 3 em 3 horas. Algumas espécies praticamente não dormem, só para não parar de se alimentar, caso contrário poderiam morrer. Considerando que o musaranho vive em média 2 anos e que o tempo que dorme é desprezível, responda:Quantos quilos de alimento o musaranho come durante sua vida?
a)74 Kg d)87,6Kg
b)78,5 Kg e)92Kg
c)83 Kg
Solução:
Sabemos que 2 anos = 2 ● 365 = 730 dias e que ele come 24h/3h = 8 vezes por dia. Logo, temos:
15g ● 8 ● 730 dias = 87600g
= 87600g (:1000)
= 87,6kg
Resposta: item D
16.Na China existem atualmente cerca de 750 ursos panda, espécie em extinção. Desse total, 52% são fêmeas e o restante, machos. Suponhamos que elas comecem a morrer, de tal modo que o número de fêmeas restantes represente apenas 25% do total de animais sobreviventes. Quantas fêmeas sobreviveram?
a)120 b)270 c)360 d)252 e)190
Solução:
Sendo m o número de ursos machos e f , o número de ursos fêmeas, temos:
m + f = 750
f = 52/100 ● 750 = 390
m = 750 – 390 = 360
Dos animais sobreviventes, as fêmeas representam 25% e os machos, 100% - 25% = 75% .Sendo x o número de fêmeas sobreviventes, como nenhum dos ursos machos morreram , temos:
X ---------------25%
360---------------75%
Logo, vem:
75x = 25 ● 360(:25)
3x = 360(:3) ►x = 120
Resposta: item A
Professor Evânio
terça-feira, 22 de dezembro de 2009
Reforço de Matemática
AULAS PARTICULARES DE MATEMÁTICA PARA QUEM DIFICULDADE DE APRENDER.
MÉTODO SIMPLES E FÁCIL.
Aulas para Nível :
FUNDAMENTAL , MÉDIO E SUPERIOR.
CRIANÇAS E ADULTOS.
aulas individuais e com horário a combinar.
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RUA RIO BRANCO 515 - Centro de São Bernardo do Campo. - SP.
Meu msn é evaniojs@gmail.com . Esse email abro ele pelo menos a cada dois dias.
Fone: 4332 5568
Fone: 8312 0038 Evânio.
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sábado, 19 de dezembro de 2009
Aulas de Matemática : Local e Horários e Preço.
As aulas são agendadas com Horário Marcado !!! Será cobrado se o aluno não comparecer no horário combinado.
Avise com 4 horas de antecedência.
O atendimento é feito em minha Psicopedagogia especializada em ensino e aprendizagem de matemática.
O atendimento é individual.
O preço da aula é R$ 80,00 reais pago em dinheiro no momento da aula.
Preços: a hora aula é R$ 80,00
O atendimento de matemática é sugerido 2 horas de atendimento contínuo para um aproveitamento adequado para assimilação do conhecimento cognitivo.
O pacote de aulas é sugerido é de 4 encontros de 2 horas 1 vez por semana, isto é de 8 horas de aula. Desta forma você garante o seu horário.
E renovado assim por diante, até o aluno desenvolver e atingir o conhecimento desejado e necessário para seu objetivo.
O pagamento é de R$ 640,00. Caso já faça o pacote, terá assegurado os 4 atendimentos 1 vez por semana, por 4 semanas de 2 horas.
As aulas particulares funcionam assim: 1 atendimento de 2 horas por semana em 4 semanas.
Se fizer o pacote de 8 horas, 1 vez por semana de 2 horas em 4 semanas.
Este pacote faz com que o aluno consiga assimilar um conteúdo contínuo e coerrente de matemática com um professor experiente, com licenciatura plena em matemática, psicólogo escolar CRP: 06/100708 - com Pós graduação em Psicopedagogia especializado com ênfase em matemática.
Sou formado em Matemática e em Psicologia Graduação.
Tenho Pós Graduação em Psicopedagogia.
O Atendimento é na Rua Coronel Fernando Prestes 561 -
centro de Santo André.
Fone: 97539-1905 vivo
Fone: 98312-0038 tim
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quarta-feira, 16 de dezembro de 2009
PRODUTOS NOTÁVEIS
PRODUTOS NOTÁVEIS
Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
Exemplos :
1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²
2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) (3 + x)²_______________b) (x + 5)²________________c) ( x + y) ²
d) (x + 2)²_______________e) ( 3x + 2)²_______________f) (2x + 1)²
g) ( 5+ 3x)²______________h) (2x + y)²_______________i) (r + 4s)²
j) ( 10x + y)²_____________l) (3y + 3x)²_______________m) (-5 + n)²
n) (-3x + 5)²_____________o) (a + ab)²________________p) (2x + xy)²
q) (a² + 1)²______________r) (y³ + 3)²________________s) (a² + b²)²
t) ( x + 2y³)²_____________u) ( x + ½)²_______________v) ( 2x + ½)²
x) ( x/2 +y/2)²
RESPOSTAS
a) 9 + 6x +x²_______________m) 25 -10n + n²
b) x² + 10x + 25____________n) 9x² - 30x + 25
c) x² + 2xy +y²_____________o) a² + 2ab + a²b²
d) x² + 4x + 4______________p) 4x² + 4xy + x²y²
e) 9x² + 12x +4_____________q) (a²)² + 2a² + 1
f) 4x² + 4x + 1_____________r) (y³)² + 6y³ + 9
g) 25 + 30x + 9x²___________s) (a²)² + 2a²b² + (b²)²
h) 4x² + 4xy + y²___________t) x² + 4xy³ + 4(y³)²
i) r² + 8rs + 16s²___________u) x² +x + 1/4
j) 100x² + 20xy + y²________v) 4x² + 2x + 1/4
l) 9y² + 18xy + 9x²_________x) x²/4 + 2xy?4 + y²/4
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²
2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) ( 5 – x)²______________b) (y – 3)²__________________c) (x – y)²
d) ( x – 7)²______________e) (2x – 5) ²_________________f) (6y – 4)²
g) (3x – 2y)²____________h) (2x – b)²__________________i) (5x² - 1)²
RESPOSTAS
a) 25 – 10x + x²_____________e) 4x² - 20 x + 25
b) y² - 6y + 9_______________f) 36y² - 48y + 16
c) x² - 2xy + y²_____________ g) 9x² - 12xy + 4y²
d) x² - 14x + x² _____________h) 4x² - 4xb + b²
i) 25(x²)² - 10x² + 1
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab + b² = a²- b²
conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²
Exemplos :
1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²
EXERCÍCIOS
1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x + y) . ( x - y)
b) (y – 7 ) . (y + 7)
c) (x + 3) . (x – 3)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2)
f) (5x + 4 ) . (5x – 4)
g) (3x + y ) (3x – y)
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x)
i) (2x + 3y) . (2x – 3y)
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x)
CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Exemplo
a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125
d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³
EXERCICIOS
1) Desenvolva
a) ( x + y)³ b) (x – y)³ c) (m + 3)³ d) (a – 1 )³ e) ( 5 – x)³ f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³ h) ( 2x – y )³ i) (1 + 2y)³ j) ( x – 2x)³ k) ( 1 – pq)³ l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³ n) ( 2x – 1)³ o) ( 2x + 5 )³ p) (3x – 2 )³
Equação do 2º Grau
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação: ax² + bx + c = 0
Onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos: 1) 2 x² + 7x + 5 = 0 2) 3 x² + x + 2 = 0
O coeficiente a tem que ser diferente de zero.
Exemplos:
1) 4 x² + 6x = 0 2) 3 x² + 9 = 0 3) 2 x² = 0
Resolução de equações completas do 2° grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax² + bx + c = 0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
Onde Δ=b²-4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:
1) Δ > 0, há duas soluções reais e diferentes
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0
1) Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.
3) Calcular Δ = (-5)²-4.1.6 = 25-24 = 1
4) Escrever a fórmula de Bhaskara:
EXERCÍCIOS
1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
1) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8) 2) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
3) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio) 4) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
5) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5) 6) 5x² - 3x - 2 = 0
7) x² - 10x + 25 = 0 8) x² - x - 20 = 0
9) x² - 3x -4 = 0 10) x² - 8x + 7 = 0
RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU
1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3) 2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4) 4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,) 6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4) 8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2) 10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2) 12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4) 14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio) 16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5) 18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3) 20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3) 22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8) 24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4) 26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio) 28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5) 30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4) 32) ( x - 5)² = 1_______(R:3,7)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2) 34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)
35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1 b)-1 e 1 c)-2 e 2 d)-3 e 3 e)0 e 4
36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4) 37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio) 38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)
PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)
2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4).
3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)
4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8).
5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)
6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)
7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)
8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)
9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)
10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)
11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7)
12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)
13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)
14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)
15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)
16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)
17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8)
18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número. (R: 5 e -3)
19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R:7 e -4)
20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número? (R: -7)
21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)
22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)
23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS
Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau
1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)
Exemplos:
1) x² - 25 = 0
x² = 25
x = √25
x = 5
logo V= (+5 e -5)
2) 2x² - 18 = 0
2x² = 18
x² = 18/2
x² = 9
x = √9
x = 3
logo V= (-3 e +3)
3) 7x² - 14 = 0
7x² = 14
x² = 14/7
x² = 2
x = √2
logo V = (-√2 e +√2)
4) x²+ 25 = 0
x² = -25
x = √-25
obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25
EXERCÍCIOS
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau
a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7) b) x² = 1 (R: +1 e -1)
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5) d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3) f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)
g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio) h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7) j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)
k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2) l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3) n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)
2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)
Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .
Exemplos
1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0
deixando um dos fatores nulo temos x = 0
e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5
logo V= (0 e 5)
2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0
deixando um dos fatores nulo temos x = 0
Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3
logo V= (0 e 10/3)
Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.
EXERCÍCIOS
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.
a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7) b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4) d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3) f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1) h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2) j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2) l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)
2) Resolva as seguintes equações do 2° grau
a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3) b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5) d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5) f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)
Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
Exemplos :
1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²
2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) (3 + x)²_______________b) (x + 5)²________________c) ( x + y) ²
d) (x + 2)²_______________e) ( 3x + 2)²_______________f) (2x + 1)²
g) ( 5+ 3x)²______________h) (2x + y)²_______________i) (r + 4s)²
j) ( 10x + y)²_____________l) (3y + 3x)²_______________m) (-5 + n)²
n) (-3x + 5)²_____________o) (a + ab)²________________p) (2x + xy)²
q) (a² + 1)²______________r) (y³ + 3)²________________s) (a² + b²)²
t) ( x + 2y³)²_____________u) ( x + ½)²_______________v) ( 2x + ½)²
x) ( x/2 +y/2)²
RESPOSTAS
a) 9 + 6x +x²_______________m) 25 -10n + n²
b) x² + 10x + 25____________n) 9x² - 30x + 25
c) x² + 2xy +y²_____________o) a² + 2ab + a²b²
d) x² + 4x + 4______________p) 4x² + 4xy + x²y²
e) 9x² + 12x +4_____________q) (a²)² + 2a² + 1
f) 4x² + 4x + 1_____________r) (y³)² + 6y³ + 9
g) 25 + 30x + 9x²___________s) (a²)² + 2a²b² + (b²)²
h) 4x² + 4xy + y²___________t) x² + 4xy³ + 4(y³)²
i) r² + 8rs + 16s²___________u) x² +x + 1/4
j) 100x² + 20xy + y²________v) 4x² + 2x + 1/4
l) 9y² + 18xy + 9x²_________x) x²/4 + 2xy?4 + y²/4
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²
2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) ( 5 – x)²______________b) (y – 3)²__________________c) (x – y)²
d) ( x – 7)²______________e) (2x – 5) ²_________________f) (6y – 4)²
g) (3x – 2y)²____________h) (2x – b)²__________________i) (5x² - 1)²
RESPOSTAS
a) 25 – 10x + x²_____________e) 4x² - 20 x + 25
b) y² - 6y + 9_______________f) 36y² - 48y + 16
c) x² - 2xy + y²_____________ g) 9x² - 12xy + 4y²
d) x² - 14x + x² _____________h) 4x² - 4xb + b²
i) 25(x²)² - 10x² + 1
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab + b² = a²- b²
conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²
Exemplos :
1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²
EXERCÍCIOS
1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x + y) . ( x - y)
b) (y – 7 ) . (y + 7)
c) (x + 3) . (x – 3)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2)
f) (5x + 4 ) . (5x – 4)
g) (3x + y ) (3x – y)
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x)
i) (2x + 3y) . (2x – 3y)
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x)
CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Exemplo
a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125
d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³
EXERCICIOS
1) Desenvolva
a) ( x + y)³ b) (x – y)³ c) (m + 3)³ d) (a – 1 )³ e) ( 5 – x)³ f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³ h) ( 2x – y )³ i) (1 + 2y)³ j) ( x – 2x)³ k) ( 1 – pq)³ l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³ n) ( 2x – 1)³ o) ( 2x + 5 )³ p) (3x – 2 )³
Equação do 2º Grau
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação: ax² + bx + c = 0
Onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos: 1) 2 x² + 7x + 5 = 0 2) 3 x² + x + 2 = 0
O coeficiente a tem que ser diferente de zero.
Exemplos:
1) 4 x² + 6x = 0 2) 3 x² + 9 = 0 3) 2 x² = 0
Resolução de equações completas do 2° grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax² + bx + c = 0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
Onde Δ=b²-4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:
1) Δ > 0, há duas soluções reais e diferentes
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0
1) Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.
3) Calcular Δ = (-5)²-4.1.6 = 25-24 = 1
4) Escrever a fórmula de Bhaskara:
EXERCÍCIOS
1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
1) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8) 2) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
3) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio) 4) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
5) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5) 6) 5x² - 3x - 2 = 0
7) x² - 10x + 25 = 0 8) x² - x - 20 = 0
9) x² - 3x -4 = 0 10) x² - 8x + 7 = 0
RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU
1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3) 2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4) 4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,) 6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4) 8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2) 10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2) 12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4) 14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio) 16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5) 18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3) 20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3) 22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8) 24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4) 26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio) 28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5) 30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4) 32) ( x - 5)² = 1_______(R:3,7)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2) 34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)
35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1 b)-1 e 1 c)-2 e 2 d)-3 e 3 e)0 e 4
36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4) 37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio) 38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)
PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU
1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)
2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4).
3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)
4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8).
5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)
6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)
7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)
8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)
9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)
10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)
11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7)
12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)
13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)
14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)
15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)
16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)
17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8)
18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número. (R: 5 e -3)
19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R:7 e -4)
20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número? (R: -7)
21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)
22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)
23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS
Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau
1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)
Exemplos:
1) x² - 25 = 0
x² = 25
x = √25
x = 5
logo V= (+5 e -5)
2) 2x² - 18 = 0
2x² = 18
x² = 18/2
x² = 9
x = √9
x = 3
logo V= (-3 e +3)
3) 7x² - 14 = 0
7x² = 14
x² = 14/7
x² = 2
x = √2
logo V = (-√2 e +√2)
4) x²+ 25 = 0
x² = -25
x = √-25
obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25
EXERCÍCIOS
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau
a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7) b) x² = 1 (R: +1 e -1)
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5) d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3) f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)
g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio) h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7) j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)
k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2) l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3) n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)
2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)
Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .
Exemplos
1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0
deixando um dos fatores nulo temos x = 0
e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5
logo V= (0 e 5)
2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0
deixando um dos fatores nulo temos x = 0
Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3
logo V= (0 e 10/3)
Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.
EXERCÍCIOS
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.
a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7) b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4) d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3) f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1) h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2) j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2) l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)
2) Resolva as seguintes equações do 2° grau
a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3) b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5) d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5) f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)
segunda-feira, 7 de dezembro de 2009
1.1 –O que é Estatística? . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 – Conceitos de População e Amostra . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 – Tipos de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 – Distribuições de Freqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 – Freqüências e freqüências relativas . . . . . . . . . . . . 14
1.5 – Distribuição de freqüências e sua representação gráfica para variáveis
quantitativas discretas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 – Distribuição de freqüências e sua representação gráfica para variáveis
quantitativas contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1 – Curvas de Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 – Medidas de Tendência Central . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.1 – Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.2 – Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.3 – Moda . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 – Medidas de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.1 – Amplitude Total . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 22
1.8.2 – Desvio Médio . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.3 – Coeficiente de Variação .. . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.4 – Variância (¾2) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 23
1.8.5 – Desvio Padrão (¾) . . . . . . . . . . . . .. . . . . 24
1.9 – Momentos, Assimetria e Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.1 – Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.2 – Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9.3 – Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 25CAPÍTULO 2 – PROBABILIDADE .... . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 – Definição de Probabilidade utilizando Freqüência Relativa . . 27
2.2 – Experimentos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 – Espaço Amostral . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 – Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 – Classe dos Eventos Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 – Definição Clássica de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 – Operações com Eventos Aleatórios - Teoria dos Conjuntos . . . .32
2.7.1 – União de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.2 – Intersecção de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.3 – Complemento . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Curva Normal e suas caracteristicas . . . . . . .. . . . . . .40
1.2 – Conceitos de População e Amostra . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 – Tipos de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 – Distribuições de Freqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 – Freqüências e freqüências relativas . . . . . . . . . . . . 14
1.5 – Distribuição de freqüências e sua representação gráfica para variáveis
quantitativas discretas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 – Distribuição de freqüências e sua representação gráfica para variáveis
quantitativas contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1 – Curvas de Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 – Medidas de Tendência Central . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.1 – Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.2 – Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.3 – Moda . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 – Medidas de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.1 – Amplitude Total . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 22
1.8.2 – Desvio Médio . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.3 – Coeficiente de Variação .. . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.4 – Variância (¾2) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 23
1.8.5 – Desvio Padrão (¾) . . . . . . . . . . . . .. . . . . 24
1.9 – Momentos, Assimetria e Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.1 – Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.2 – Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9.3 – Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 25CAPÍTULO 2 – PROBABILIDADE .... . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 – Definição de Probabilidade utilizando Freqüência Relativa . . 27
2.2 – Experimentos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 – Espaço Amostral . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 – Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 – Classe dos Eventos Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 – Definição Clássica de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 – Operações com Eventos Aleatórios - Teoria dos Conjuntos . . . .32
2.7.1 – União de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.2 – Intersecção de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.3 – Complemento . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Curva Normal e suas caracteristicas . . . . . . .. . . . . . .40
quinta-feira, 3 de dezembro de 2009
Matemática nível médio para 2010.
ANÁLISE COMBINATÓRIA Descrição: Exercícios sobre análise combinatória. Fatorial, arranjos simples, permutação, combinações simples.
TEORIA DOS CONJUNTOS Descrição: Material contendo símbolos utilizados na teoria dos conjuntos e nas operações entre conjuntos, além de conceitos de união, intersecção, diferença, etc.
TABELA TRIGONOMÉTRICA Descrição: Tabela com sen, cos e tg para todos os ângulos de 1º até 90º.
VETORES· Reta orientada, segmento orientado, segmento nulo, segmentos opostos, medida de um segmento; · Direção e sentido, segmentos equipolentes, propriedades da equipolência;
· Vetor, vetores iguais, vetor nulo, vetores opostos; · Vetor unitário, versor, vetores colineares, vetores coplanares; · Soma de vetores, propriedades da soma de vetores, diferença de vetores, produto de um escalar por um vetor, módulo de um vetor, vetor unitário; · Produto escalar, propriedades do produto escalar, ângulo entre dois vetores, vetores ortogonais.
FUNÇÕES - básico Descrição: O que é uma função? O que é o domínio e imagem de uma função? Como obter o domínio de uma função? Construção do gráfico cartesiano de uma função. Raízes de uma função. Propriedades de uma função (injetora, sobrejetora e bijetora). Função par e função ímpar. Função crescente e função decrescente. Função composta e função inversa. Alguns exercícios resolvidos. Tudo bem explicado com o uso de diagramas e gráficos. Indispensável para quem quer aprender funções.
PROBABILIDADE Descrição: Material sobre a teoria das probabilidades: experimentos aleatórios, espaço amostral, evento, conceito de probabilidade, propriedades, probabilidade condicional, eventos independentes, probabilidade de ocorrer a união de eventos.
GEOMETRIA ESPACIAL Descrição: Geometria espacial (prismas, pirâmides, cilindro, cone, paralelepípedo, cubo e tetraedro).
LOGARITMOS Descrição: Logaritmos: definição de logaritmo, consequências da definição, propriedades operatórias dos logaritmos, cologaritmo e mudança de base. Veja também a tabela de logaritmos decimais e a tabela de logaritmos em outras bases.
MATRIZES E DETERMINANTES Alguns exercícios sobre matrizes e determinantes (multiplicação de matrizes, matriz inversa...).
NÚMEROS COMPLEXOS Descrição: Material para o estudo do conjunto dos números complexos. Exercícios sobre divisão de números complexos, conjugado, módulo, argumento, forma trigonométrica de um número complexo, multiplicação na forma trigonométrica...
POLINÔMIOS Descrição: Excelente material para o estudo de polinômios: definição de um polinômio, valor numérico, igualdade de polinômios, divisão de polinômios (método da chave, teorema do resto, teorema de d'Alembert), dispositivo de Briott-Ruffini, decomposição em fatores. Tudo explicadinho com exemplos e exercícios resolvidos.
PRODUTOS NOTÁVEIS Descrição: Os principais produtos notáveis para simplificar o trabalho nos cálculos. Alguns exercícios resolvidos.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Descrição: Exercícios sobre progressões aritméticas (termo geral, soma de PAs).
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Descrição: Explicação sobre o conteúdo de progressões geométricas (termo geral, soma dos termos,...).
TRIGONOMETRIA Tamanho: Descrição: Fórmulas de trigonometria (relações e identidades trigonométricas, fórmulas da adição, fórmulas da multiplicação e transformação em produto).
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Descrição: Material para o estudo da função exponencial. Tipos de função exponencial. Definições e exemplos de equações e inequações exponenciais.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Descrição: Material para o estudo da função logarítmica. Definição de função logarítmica. Equações e inequações logarítmicas: definições, exemplos e alguns exercícios.
FUNÇÃO MODULAR
Descrição: Módulo (ou valor absoluto) de um número, equações e inequações modulares. Módulo e raiz quadrada, função modular. Determinação do domínio através de inequações modulares e construção do gráfico da função modular.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Descrição: Os conjuntos dos números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais.
BINÔMIO DE NEWTON
Descrição: Introdução, coeficientes binomiais, propriedades dos coeficientes binomiais, triângulo de Pascal, propriedades do triângulo de Pascal, fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton, fórmula do termo geral do binômio de Newton.
FUNÇÃO DE 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM
Descrição: Material sobre função afim ou função de 1º grau: definição, gráfico, zero e equação de 1º grau, crescimento e decrescimento, sinal.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Descrição: Definição, gráfico, zero e equação de 2º grau, coordenadas do vértice da parábola, imagem, construção da parábola, sinal da função.
SISTEMAS LINEARES
Descrição: Equação linear, sistema linear, matrizes associadas a um sistema linear, sistemas homogêneos, classificação de um sistema quanto ao número de soluções, sistema normal, regra de Cramer, discussão de um sistema linear, sistemas equivalentes, propriedades, sistemas escalonados.
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Descrição: Definição, exemplos, resolução da 1ª equação fundamental, resolução da 3ª equação fundamental.
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Descrição: Definição, exemplos, resolução das inequações trigonométricas fundamentais divididas em seis casos.
MATRIZES Descrição: Introdução e notação geral, denominações especiais (matriz linha, matriz coluna, matriz quadrada, matriz nula, matriz diagonal, matriz identidade, matriz transposta, etc).
Igualdade de matrizes, operações envolvendo matrizes (adição, subtração, multiplicação de um número real por uma matriz,
multiplicação de matrizes, propriedades das operações, matriz inversa.
DETERMINANTES Descrição: Determinante de 1ª ordem, determinante de 2ª ordem, menor complementar, cofator, teorema de LaPlace, Regra de Sarrus, determinante de ordem n>3, propriedades dos determinantes.
GEOMETRIA ESPACIAL Descrição: Conceitos primitivos, axiomas, postulados sobre pontos e retas, postulados sobre o plano e o espaço, posições relativas de duas retas, postulados de Euclides, determinação de um plano, posições relativas de reta e plano, perpendicularismo entre reta e plano, posições relativas de dois planos, perpendicularismo entre planos, projeção ortogonal, distâncias, ângulos, diedros, triedros, poliedros, poliedros convexos e côncavos, poliedros regulares, relação de Euler, poliedros platônicos, prismas, elementos do prisma, paralelepípedo, cubo, generalização do volume de um prisma, cilindro, cilindro equilátero, cone, pirâmides, tronco do cone e da pirâmide, esfera, zona esférica, etc.
GEOMETRIA ANALÍTICA - CIRCUNFERÊNCIA Descrição: Equações da circunferência, determinação do centro e do raio da circunferência, posição de uma reta em relação a uma circunferência, condições de tangência entre reta e circunferência.
GEOMETRIA ANALÍTICA: CÔNICAS Descrição: Elipse, elementos da elipse, relação fundamental, excentricidade, equações, hipérbole, elementos da hipérbole, hipérbole equilátera, assíntotas da hipérbole, parábola, elementos da parábola.
GEOMETRIA ANALÍTICA: RETAS Descrição: Introdução, medida algébrica de um segmento, plano cartesiano, distância entre dois pontos, razão da secção, ponto médio, baricentro de um triângulo, cálculo das coordenadas do baricentro, condições de alinhamento de três pontos, equação geral da reta, equação segmentária, equações paramétricas, equação reduzida, coeficiente angular, determinação do coeficiente angular, concorrência, perpendicularismo, ângulo entre duas retas, distância entre ponto e reta, bissetrizes.
Ensino Fundamental
Ângulos
Divisibilidade
Dízimas Periódicas
Equações de 1º grau
Equações de 2º grau
Frações
Geometria Plana
Grandezas Proporcionais
Inequações de 1º grau
Médias
Medidas de capacidade
Medidas de comprimento
Medidas de massa
Medidas de superfície
Medidas de tempo
Medidas de volume
Números Decimais
Números Racionais
Operações com Números Racionais Decimais
Porcentagem
Proporções
TEORIA DOS CONJUNTOS Descrição: Material contendo símbolos utilizados na teoria dos conjuntos e nas operações entre conjuntos, além de conceitos de união, intersecção, diferença, etc.
TABELA TRIGONOMÉTRICA Descrição: Tabela com sen, cos e tg para todos os ângulos de 1º até 90º.
VETORES· Reta orientada, segmento orientado, segmento nulo, segmentos opostos, medida de um segmento; · Direção e sentido, segmentos equipolentes, propriedades da equipolência;
· Vetor, vetores iguais, vetor nulo, vetores opostos; · Vetor unitário, versor, vetores colineares, vetores coplanares; · Soma de vetores, propriedades da soma de vetores, diferença de vetores, produto de um escalar por um vetor, módulo de um vetor, vetor unitário; · Produto escalar, propriedades do produto escalar, ângulo entre dois vetores, vetores ortogonais.
FUNÇÕES - básico Descrição: O que é uma função? O que é o domínio e imagem de uma função? Como obter o domínio de uma função? Construção do gráfico cartesiano de uma função. Raízes de uma função. Propriedades de uma função (injetora, sobrejetora e bijetora). Função par e função ímpar. Função crescente e função decrescente. Função composta e função inversa. Alguns exercícios resolvidos. Tudo bem explicado com o uso de diagramas e gráficos. Indispensável para quem quer aprender funções.
PROBABILIDADE Descrição: Material sobre a teoria das probabilidades: experimentos aleatórios, espaço amostral, evento, conceito de probabilidade, propriedades, probabilidade condicional, eventos independentes, probabilidade de ocorrer a união de eventos.
GEOMETRIA ESPACIAL Descrição: Geometria espacial (prismas, pirâmides, cilindro, cone, paralelepípedo, cubo e tetraedro).
LOGARITMOS Descrição: Logaritmos: definição de logaritmo, consequências da definição, propriedades operatórias dos logaritmos, cologaritmo e mudança de base. Veja também a tabela de logaritmos decimais e a tabela de logaritmos em outras bases.
MATRIZES E DETERMINANTES Alguns exercícios sobre matrizes e determinantes (multiplicação de matrizes, matriz inversa...).
NÚMEROS COMPLEXOS Descrição: Material para o estudo do conjunto dos números complexos. Exercícios sobre divisão de números complexos, conjugado, módulo, argumento, forma trigonométrica de um número complexo, multiplicação na forma trigonométrica...
POLINÔMIOS Descrição: Excelente material para o estudo de polinômios: definição de um polinômio, valor numérico, igualdade de polinômios, divisão de polinômios (método da chave, teorema do resto, teorema de d'Alembert), dispositivo de Briott-Ruffini, decomposição em fatores. Tudo explicadinho com exemplos e exercícios resolvidos.
PRODUTOS NOTÁVEIS Descrição: Os principais produtos notáveis para simplificar o trabalho nos cálculos. Alguns exercícios resolvidos.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Descrição: Exercícios sobre progressões aritméticas (termo geral, soma de PAs).
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Descrição: Explicação sobre o conteúdo de progressões geométricas (termo geral, soma dos termos,...).
TRIGONOMETRIA Tamanho: Descrição: Fórmulas de trigonometria (relações e identidades trigonométricas, fórmulas da adição, fórmulas da multiplicação e transformação em produto).
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Descrição: Material para o estudo da função exponencial. Tipos de função exponencial. Definições e exemplos de equações e inequações exponenciais.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Descrição: Material para o estudo da função logarítmica. Definição de função logarítmica. Equações e inequações logarítmicas: definições, exemplos e alguns exercícios.
FUNÇÃO MODULAR
Descrição: Módulo (ou valor absoluto) de um número, equações e inequações modulares. Módulo e raiz quadrada, função modular. Determinação do domínio através de inequações modulares e construção do gráfico da função modular.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Descrição: Os conjuntos dos números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais.
BINÔMIO DE NEWTON
Descrição: Introdução, coeficientes binomiais, propriedades dos coeficientes binomiais, triângulo de Pascal, propriedades do triângulo de Pascal, fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton, fórmula do termo geral do binômio de Newton.
FUNÇÃO DE 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM
Descrição: Material sobre função afim ou função de 1º grau: definição, gráfico, zero e equação de 1º grau, crescimento e decrescimento, sinal.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Descrição: Definição, gráfico, zero e equação de 2º grau, coordenadas do vértice da parábola, imagem, construção da parábola, sinal da função.
SISTEMAS LINEARES
Descrição: Equação linear, sistema linear, matrizes associadas a um sistema linear, sistemas homogêneos, classificação de um sistema quanto ao número de soluções, sistema normal, regra de Cramer, discussão de um sistema linear, sistemas equivalentes, propriedades, sistemas escalonados.
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Descrição: Definição, exemplos, resolução da 1ª equação fundamental, resolução da 3ª equação fundamental.
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Descrição: Definição, exemplos, resolução das inequações trigonométricas fundamentais divididas em seis casos.
MATRIZES Descrição: Introdução e notação geral, denominações especiais (matriz linha, matriz coluna, matriz quadrada, matriz nula, matriz diagonal, matriz identidade, matriz transposta, etc).
Igualdade de matrizes, operações envolvendo matrizes (adição, subtração, multiplicação de um número real por uma matriz,
multiplicação de matrizes, propriedades das operações, matriz inversa.
DETERMINANTES Descrição: Determinante de 1ª ordem, determinante de 2ª ordem, menor complementar, cofator, teorema de LaPlace, Regra de Sarrus, determinante de ordem n>3, propriedades dos determinantes.
GEOMETRIA ESPACIAL Descrição: Conceitos primitivos, axiomas, postulados sobre pontos e retas, postulados sobre o plano e o espaço, posições relativas de duas retas, postulados de Euclides, determinação de um plano, posições relativas de reta e plano, perpendicularismo entre reta e plano, posições relativas de dois planos, perpendicularismo entre planos, projeção ortogonal, distâncias, ângulos, diedros, triedros, poliedros, poliedros convexos e côncavos, poliedros regulares, relação de Euler, poliedros platônicos, prismas, elementos do prisma, paralelepípedo, cubo, generalização do volume de um prisma, cilindro, cilindro equilátero, cone, pirâmides, tronco do cone e da pirâmide, esfera, zona esférica, etc.
GEOMETRIA ANALÍTICA - CIRCUNFERÊNCIA Descrição: Equações da circunferência, determinação do centro e do raio da circunferência, posição de uma reta em relação a uma circunferência, condições de tangência entre reta e circunferência.
GEOMETRIA ANALÍTICA: CÔNICAS Descrição: Elipse, elementos da elipse, relação fundamental, excentricidade, equações, hipérbole, elementos da hipérbole, hipérbole equilátera, assíntotas da hipérbole, parábola, elementos da parábola.
GEOMETRIA ANALÍTICA: RETAS Descrição: Introdução, medida algébrica de um segmento, plano cartesiano, distância entre dois pontos, razão da secção, ponto médio, baricentro de um triângulo, cálculo das coordenadas do baricentro, condições de alinhamento de três pontos, equação geral da reta, equação segmentária, equações paramétricas, equação reduzida, coeficiente angular, determinação do coeficiente angular, concorrência, perpendicularismo, ângulo entre duas retas, distância entre ponto e reta, bissetrizes.
Ensino Fundamental
Ângulos
Divisibilidade
Dízimas Periódicas
Equações de 1º grau
Equações de 2º grau
Frações
Geometria Plana
Grandezas Proporcionais
Inequações de 1º grau
Médias
Medidas de capacidade
Medidas de comprimento
Medidas de massa
Medidas de superfície
Medidas de tempo
Medidas de volume
Números Decimais
Números Racionais
Operações com Números Racionais Decimais
Porcentagem
Proporções
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